Um ângulo é mais do que duas semi-retas de mesma origem
Ângulos: importância e contextos de uso
Dentre os vários conceitos geométricos, o conceito de ângulo é um dos mais importantes e complexos. Sua importância, inconteste, se dá pelo alto grau de conexões internas e externas. Você é capaz de imaginar um currículo de Matemática sem o ensino de ângulos ?
Nem pensar. Poucos conceitos têm tantas conexões internas ou externas como têm os ângulos. Considerando apenas suas conexões internas, ou seja, aquelas que relacionam tópicos de um currículo da Matemática, ângulo se constitui num conceito chave para o estudo de figuras semelhantes, casos de congruência de triângulos, construção de polígonos regulares, relações métricas num triângulo, trigonometria, geometria analítica, números complexos, geometria espacial e outros tópicos.
Mesmo em temas de natureza aritmética ou algébrica, como proporcionalida-de e funções, os ângulos intervêm. A inclinação de uma reta dá informações sobre a posição relativa de duas retas, que pode ser decidida pela comparação de seus respectivos coeficientes angulares; a velocidade ou aceleração de um objeto em movimento também pode ser determinada através da inclinação de uma reta, ou de seu coeficiente angular. Usamos ângulos para a construção de representações relacionadas à estatística, à porcentagem e às probabilidades, como mostra a figura ao lado.
Quanto às conexões externas, os ângulos são alicerces fundamentais de áreas como Astronomia, Geografia, Cartografia, Náutica, Física, Biologia, Química e de outras menos esperadas como Ergonomia, Arqueologia, Arquitetura ou Artes.
Centenas de atividades profissionais utilizam ângulos para resolver problemas, como no caso do marceneiro, do pedreiro e até daquele mecânico que faz o alinhamento das rodas dos carro.
Sistemas de alta tecnologia utilizam idéias angulares, dos controles remotos de aparatos eletrônicos caseiros aos radares em aeroportos.
O conceito de ângulo: sua história e idéias associadas
Não há registros confiáveis sobre o desenvolvimento do "conceito de ângulo", entretanto, é possível fazer um ensaio a respeito das idéias primitivas associadas à noção de ângulo.
O homem primitivo, que vagava à procura de alimento, se deu conta de que certos caminhos pelas montanhas causavam mais fadiga do que outros; assim a idéia de inclinação deve ter sido uma das primeiras a ser intuídas. Caminhos ótimos acompanhando as curvas de nível ainda hoje são utilizados na moderna engenharia de construção de estradas. Não é necessário discorrer sobre o fato de que há uma inclinação limite nas rampas, ruas e estradas.
Outra idéia bem antiga é a do ângulo agudo. Sabemos isto analisando como são as pontas das flechas de povos da idade da pedra, passando pela idade dos metais e chegando até nossos dias. A ponta aguda dá mais direção, pela aerodinâmica, e penetra com mais facilidade no animal a ser caçado.
Antropólogos que estudam sociedades indígenas e tribais nos trazem outros indícios. Quando a pesca é feita com uma flecha, a refração na água é considerada pelo pescador. Para produzir fogo com eficácia, esfregando dois gravetos, a posição ortogonal é a mais eficaz.
Vemos, assim, que idéias como inclinação, ângulo agudo, refração, ortogonalidade estão na origem do desenvolvimento da noção de ângulo.
Porém, as primeiras idéias sistematizadas a respeito de ângulos são bem mais recentes e são encontradas nos gregos, a partir de Tales (séc. VI a.C.) e em Euclides (séc. III a.C.).
Para Euclides "Ângulo plano é a inclinação de duas linhas, que se tocam em uma superfície plana. Quando as linhas são retas, o ângulo é denominado de retilíneo."
Modo complicado este de dar "vida" a um conceito. Podemos observar que Euclides está considerando duas classes de ângulos, os retilíneos e os curvilíneos. O curioso disto tudo é que os livros atuais não ignoram os ângulos curvilíneos de Euclides, mas as crianças pequenas, de um modo geral, crêem que formas, como a de um espinho, estão relacionadas a ângulos.
As primeiras concepções das crianças a respeito de idéias geométricas são diferentes dos discursos formais dos livros de Matemática. Para as crianças "ângulos" estão relacionados a coisas que picam, que têm ponta como um espinho.
Idéias associadas a ângulos
O conceito de ângulo está associado a uma diversidade de idéias distintas, porém solidárias, como inclinação, rotação, região, abertura, orientação, direção, entre outras.
As práticas curriculares das últimas décadas privilegiaram um ensino centrado em definições, uma classificação restrita e algumas fórmulas seguidas de exercícios modelo e exercícios de aplicação. Tal abordagem esconde a riqueza do conceito, sua complexidade e a engenhosidade de seus usos.
Os vários aspectos do conceito de ângulo não podem ser engessados numa determinada definição. Veja-se, por exemplo, a idéia de campo visual.
Tanto o ser humano como os animais dispõem de um campo visual. A noção de campo visual está associada à idéia de ângulo como região, contínua.
Uma definição clássica como, por exemplo, "ângulo é a reunião de duas semi-retas, não colineares, de mesma origem", que se encontra em muitos livros, não dá conta da idéia de ângulo como região. Uma definição mais apropriada para conter esta idéia seria "ângulo é a região comum de dois semiplanos que se interceptam". Alguns autores cercam este problema, fazendo distinção entre ângulo e região angular.
Bem, mas que dizer de outra idéia associada a ângulo, a rotação ? Inúmeras são as situações angulares relacionadas à idéia de rotação. Qual seria a definição mais apropriada para cobrir estas situações ?
Eis aqui uma: " Ângulo é a figura formada por duas semi-retas com origem comum; pode ser formada pela rotação que leva uma semi-reta sobre a outra. A medida desta rotação dá a grandeza do ângulo". (Herder Lexikon)
O que se pode aproveitar disto é que um ensino significativo do conceito de ângulo não pode ficar preso a uma definição particular, sob pena de sonegar idéias e contextos importantes. Para se ter uma idéia da riqueza, da complexidade e da diversidade do conceito, o dicionário Aurélio apresenta 48 verbetes da palavra ângulo, relacionados a diversas situações, contextos e áreas do conhecimento.
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